Question

已知椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A（-a，b），B（0，-b），其长轴长是短轴长的两倍，焦距为2

3

．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆的标准方程；
（ⅱ）求椭圆上到直线AB距离为

2 5

5

的点的个数；
（Ⅱ）过线段AB上的点H作与AB垂直的直线l，交椭圆于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）（ⅰ）由已知c=

3

，a=2b，可求b，从而可得a，即可求椭圆的标准方程；
（ⅱ）求出椭圆的与AB平行的切线方程，可得到直线AB距离为

2 5

5

的点的个数；
（Ⅱ）直线l方程为y=2x+t（-1≤t≤4）代入椭圆方程，求出|PQ|，O到直线l距离，可得△OPQ面积，利用基本不等式可得最大值，从而可得此时直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知c=

3

，a=2b--------------------------（1分）
∴4b²=b²+3，
∴b²=1-----------（2分）
∴a²=4，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1-；----------------（4分）
（ⅱ）由题意A（-2，0），B（0，-1），
直线AB的方程为l_AB：x+2y+2=0-------------------------（5分）
设椭圆的与AB平行的切线为：x+2y+m=0
代入椭圆方程得：2x²+2mx+m²-4=0
∴△=4m²-8（m²-4）=0，∴m=±2

2

得切线方程l₁：x+2y+2

2

=0，l₂：x+2y-2

2

=0------------（6分）
l₁与l_AB距离d₁=

2( 2 -1)

5

＜

2 5

5

，
l₂与l_AB距离d₂=

2( 2 +1)

5

，
故符合题意的点有2个-----------------------------------------------------------（8分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程为y=2x+t（-1≤t≤4）代入椭圆方程
得：17x²+16tx+4（t²-1）=0
∴|PQ|=

5

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 5

17

•

17-t2

-------------------------------------（9分）
∵O到直线l距离为d=

|t|

5

-------------------------------------------（10分）
∴△OPQ面积=

1

2

d|PQ|=

1

2

•

|t|

5

|PQ|=

2

17

t2(17-t2)

≤

2

17

•

17-t2+t2

2

=1-------------（11分）
此时17-t²=t²，∴t=

34

2

此时直线方程为y=2x+

34

2

-------------------------------------（12分）

点评：本题中考查了椭圆的方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．