Question

已知矩阵M=

2 0 1 1

：
①求矩阵M的逆矩阵M^-1；
②求矩阵M的特征值及相应的特征向量．

Answer 1

考点：逆变换与逆矩阵,几种特殊的矩阵变换

专题：选作题,矩阵和变换

分析：①求出detM=2，可得矩阵M的逆矩阵M^-1；
②先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答： 解：①已知矩阵M=

2 0 1 1

，∴detM=2，∴M-1=

1 2 0 - 1 2 1

…（3分）
②M的特征多项式f(λ)=

.

λ-2 0 -1 λ-1

.

=0，解得λ₁=1，λ₂=2
将λ₁=1代入二元一次方程组

(λ-2)•x+0•y=0 -x+(λ-1)y=0

解得x=0，（6分）
所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为

ξ1

=

0 1

；（8分）
同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为

ξ1

=

1 1

（10分）

点评：本题主要考查矩阵M的逆矩阵、矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．