Question

设函数f（x）=x²+2x-3．
（1）若关于x的不等式f（x）＞a的解集为{x|x≠-1}，试求实数a的值；
（2）若关于x的不等式f（x）＞a在[-3，3]内有解，试求实数a的取值范围；
（3）若关于x的不等式f（x）＞ax-7对一切x∈（0，3）恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,一元二次不等式的解法

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，x=-1时，f（-1）=a；
（2）关于x的不等式f（x）＞a在[-3，3]内有解，∴在[-3，3]内，f（x）_max＞a；
（3）f（x）＞ax-7对一切x∈（0，3）恒成立，即a＜x+

4

x

+2．

解答： 解：（1）由题意，x=-1时，f（-1）=a，∴a=-4；                              …（5分）
（2）关于x的不等式f（x）＞a在[-3，3]内有解，∴在[-3，3]内，f（x）_max＞a，
∵f（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4，∴f（x）_max=f（3）=12，∴a＜12，
∴实数a的取值范围是（-∞，12）；                                               …（10分）
（3）f（x）＞ax-7对一切x∈（0，3）恒成立，即a＜x+

4

x

+2，
∴x∈（0，3），∴x+

4

x

≥4，
∴x+

4

x

+2≥6，
∴a＜6，即实数a的取值范围是（-∞，6）…（16分）

点评：本题考查函数恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．