Question

在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|＜M成立，则称f（x）是D上的有界函数．则下列定义在R上的函数中，不是有界函数的是（　　）

• A、f（x）=sinx²
• B、f（x）=

  1

  x2+1

• C、f（x）=-2^1-|x|
• D、f（x）=-log₂（1+|x|）

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：根据有界函数的定义容易判断A，B，C的三个函数都是有界函数，所以不是有界函数的是D．

解答： 解：存在常数2，使|sinx²|＜2，∴f（x）=sinx²是有界函数；
存在常数2，使|

1

x2+1

|＜2，∴f（x）=

1

x2+1

是有界函数；
∵1-|x|≤1，∴0＜2^1-|x|≤2，∴|-2^1-|x||≤2，∴存在常数3使|-2^1-|x||＜3，∴f（x）=-2^1-|x|是有界函数；
∵1+|x|≥1，∴log₂（1+|x|）≥0，∴|-log₂（1+|x|）|≥0，∴不存在常数M，使：|-log₂（1+|x|）|＜M，所以f（x）=-log₂（1+|x|）不是有界函数．
故选D．

点评：考查对有界函数定义的理解，正弦函数的取值范围，指数函数与对数函数的单调性与值域．