Question

4．圆O：x²+y²=4与抛物线y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x^2}$相交于A，B两点．由圆的劣弧$\widehat{AB}$和抛物线弧$\widehat{AOB}$所包络而成的区域记为Ω，在圆O中任取一点P，则P点取自区域Ω中的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{2π}+\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4π}+\frac{1}{6}$
• C． $\frac{π}{12}+\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{4}+\frac{1}{6π}$

Answer 1

分析 联立抛物线和圆的方程求出交点坐标，根据积分的几何意义以及积分的运算法则求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．

解答 解：将y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x^2}$代入x²+y²=4得$\frac{1}{2}$x⁴+x²=4，即x⁴+2x²-8=0，得（x²-2）（x²+4）=0，
得x²-2=0，得x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$，此时y=$\frac{\sqrt{2}}{2}×2$=$\sqrt{2}$，即A（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
当y≥0时，由x²+y²=4得y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
则阴影部分的面积S=∫${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x^2}$）dx=∫${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx-∫${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x^2}$dx，
∫${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx几何意义是x²+y²=4在-$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{2}$，y≥0时的面积，
则∠AOB=$\frac{π}{2}$，S_△AOC=S_△BOD=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，
扇形的面积S=$\frac{1}{4}$π×2²=π，则∫${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=1+1+π=2+π，
∫${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x^2}$dx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$（（$\sqrt{2}$）³-（-$\sqrt{2}$）³）=$\frac{\sqrt{2}}{6}$×4$\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$，
则Ω的面积S=2+π-$\frac{4}{3}$=π+$\frac{2}{3}$，
则在圆O中任取一点P，则P点取自区域Ω中的概率P=$\frac{π+\frac{2}{3}}{π×{2}^{2}}=\frac{π+\frac{2}{3}}{4π}$=$\frac{1}{4}+\frac{1}{6π}$，
故选：D

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的几何意义和应用求出阴影部分的面积是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．