Question

已知函数f（x）=

1

2x-1

+a（a∈R）为奇函数，函数g（x）=m•2^x-m．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若在区间（-∞，0）上，y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象的下方，试确定实数m的范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=

1

2x-1

+a（a∈R）为奇函数，可得：f（-x）+f（x）=0，求出a值后，进而得到函数f（x）的解析式；
（2）若在区间（-∞，0）上，y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象的下方，

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

1

2x-1

+a（a∈R）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=

1

2-x-1

+a+

1

2x-1

+a=

-2x

2x-1

+a+

1

2x-1

+a=2a-1=0，
解得：a=

1

2

，
故f（x）=

1

2x-1

+

1

2

（2）若在区间（-∞，0）上，y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象的下方，
∴当x∈（-∞，0）时，

1

2x-1

+

1

2

＜m•2^x-m恒成立，
即

2x+1

2(2x-1)

＜m（2^x-1）恒成立，
即m＜

2x+1

2(2x-1)2

=

1

2(2x+ 4 2x )-6

恒成立，
当x∈（-∞，0）时，2^x∈（0，1），2x+

4

2x

∈（5，+∞），2(2x+

4

2x

)-6∈（4，+∞），
∴

1

2(2x+ 4 2x )-6

∈（0，

1

4

）
故m≤0

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数恒成立问题，函数解析式的求法，函数的图象关系，是函数图象与性质的综合应用，难度较大，属于难题．