Question

求解析式：
（1）已知f（2x+1）=4x²+8x+3，求f（x）；
（2）已知f（x+

1

x

）=x²+

1

x2

-3，求f（x）；
（3）已知f（x）-2f（

1

x

）=3x+2，求f（x）；
（4）已知f（

x

+1）=x+2

x

，求f（x）．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）配凑法可得f（2x+1）=（2x+1）²+2（2x+1），进而可得f（x）=x²+2x；
（2）配凑法可得f（x+

1

x

）=（x+

1

x

）²-5，进而可得f（x）=x²-5；
（3）由f（x）-2f（

1

x

）=3x+2可得f（

1

x

）-2f（x）=

3

x

+2，两式联立消去f（

1

x

）解f（x）即可；
（4）配凑法可得f（

x

+1）=（

x

+1）²-1，进而可得f（x）=x²-1，x≥1

解答： 解：（1）∵f（2x+1）=4x²+8x+3
=4x²+4x+1+4x+2=（2x+1）²+2（2x+1）
∴f（x）=x²+2x；
（2）∵f（x+

1

x

）=x²+

1

x2

-3
=（x+

1

x

）²-5
∴f（x）=x²-5；
（3）∵f（x）-2f（

1

x

）=3x+2，
∴f（

1

x

）-2f（x）=

3

x

+2，
两式联立消去f（

1

x

）可得f（x）=-

2

x

-x-2；
（4）∵f（

x

+1）=x+2

x

=（

x

+1）²-1
∴f（x）=x²-1，x≥1

点评：本题考查函数解析式的求解，属基础题．