Question

16．已知点A（-2，0）、B（2，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）直线y=k（x-1）与曲线C交于不同的两点M、N，当△AMN的面积为$\frac{12\sqrt{2}}{5}$时，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）联立y=k（x-1）与椭圆C，利用弦长公式，表示出△AMN面积，化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），则$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{2}$，
化简得曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$（x≠±2）；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
直线与椭圆方程联立，消去y，整理得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0．
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$，
∵A（-2，0）到直线y=k（x-1）的距离d=$\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△AMN的面积=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$•$\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∴k=±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查轨迹的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．