若函数y=f(x).x∈D.对任意的x1∈D.总存在x2∈D.使得f(x1)•f(x2)=1.则称函数f(x)具有性质M．(1)判断函数y=2x和y=log2x是否具有性质M.说明理由,(2)若函数y=log8(x+2).x∈[0.t]具有性质M.求t的值,(3)若函数y=$\frac{{{x^2}+ax+9}}{{{x^2}-ax+9}}$在实数集R上具有性质M.求a� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．若函数y=f（x），x∈D，对任意的x₁∈D，总存在x₂∈D，使得f（x₁）•f（x₂）=1，则称函数f（x）具有性质M．
（1）判断函数y=2^x和y=log₂x是否具有性质M，说明理由；
（2）若函数y=log₈（x+2），x∈[0，t]具有性质M，求t的值；
（3）若函数y=$\frac{{{x^2}+ax+9}}{{{x^2}-ax+9}}$（a≠0）在实数集R上具有性质M，求a的取值范围．

分析（1）根据函数f（x）具有性质M的定义，可得函数y=2^x具有性质M，函数y=log₂x没有性质M；
（2）若函数y=log₈（x+2），x∈[0，t]具有性质M，则log₈2•log₈（t+2）=1，进而得到t的值；
（3）若函数$y=\frac{{{x^2}+ax+9}}{{{x^2}-ax+9}}$（a≠0）在实数集R上具有性质M，其值域可能为（0，+∞）、（-∞，0）、[m，$\frac{1}{m}$]的形式，用判别式法对函数求值域，选其符合条件的情况即可求a．

解答解：（1）函数y=2^x的定义域为R；
且f（x₁）•f（x₂）=${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
若f（x₁）•f（x₂）=1，则x₁+x₂=0，
对任意的x₁∈D，总存在x₂∈D，使得f（x₁）•f（x₂）=1，
∴函数y=2^x具有性质M，
函数y=log₂x的定义域为（0，+∞），
令x₁=1，则f（x₁）=0，
此时f（x₁）•f（x₂）=0恒成立，
即不存在x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，
∴函数y=log₂x没有性质M；
（2）∵函数y=log₈（x+2），x∈[0，t]的值域为[log₈2，log₈（t+2）]，若函数y=log₈（x+2），x∈[0，t]具有性质M，
则log₈2•log₈（t+2）=1，t+2=8³，
解得：t=510；
（3）y=$\frac{{{x^2}+ax+9}}{{{x^2}-ax+9}}$⇒（y-1）x²-（ay+a）x+9y-9=0
⇒△=（ay+a）²-4（y-1）（9y-9）=（a²-36）y²+（2a²+72）y+a²-36≥0
∵y₁y₂=1，要使函数y=$\frac{{{x^2}+ax+9}}{{{x^2}-ax+9}}$（a≠0）在实数集R上具有性质M，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-36＜0}\\{{△}_{1}＞0}\end{array}\right.$⇒-6＜a＜6且a≠0
∴函数y=$\frac{{{x^2}+ax+9}}{{{x^2}-ax+9}}$（a≠0）在实数集R上具有性质M，a的取值范围为（-6，0）∪（0.6）

点评本题考查了函数的新定义，及函数的值域，属于压轴题．

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	A．	sin$\frac{1}{2}$＜cos$\frac{1}{2}$＜tan$\frac{1}{2}$		B．	cos$\frac{1}{2}$＜sin$\frac{1}{2}$＜tan$\frac{1}{2}$
	C．	sin$\frac{1}{2}$＜tan$\frac{1}{2}$＜cos$\frac{1}{2}$		D．	tan$\frac{1}{2}$＜sin$\frac{1}{2}$＜cos$\frac{1}{2}$

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