Question

2．用数学归纳法证明：（3n+1）•7ⁿ-1（n∈N^*）能被9整除．

Answer 1

分析 先验证n=1成立，再假设n=k成立，推导n=k+1成立即可．

解答 证明：（1）当n=1时，（3+1）•7¹-1=27=3×9，显然能被9整除，
（2）假设n=k时，：（3k+1）•7^k-1能被9整除，
那么n=k+1时，
则[3（k+1）+1]7^k+1-1=（3k+1）7^k+1+3•7^k+1-1
=7（3k+1）7^k+3•7^k+1-1
=（3k+1）7^k-1+6（3k+1）7^k+3•7^k+1，
=[（3k+1）7^k-1]+（18k+27）7^k，k∈N
由（3k+1）7^k-1能被9整除，
（18k+27）7^k能被9整除，
∴n=k+1时，（3n+1）•7ⁿ-1（n∈N^*）能被9整除．
∴（3n+1）•7ⁿ-1（n∈N^*）能被9整除．

点评 本题考查了数学归纳法证明，掌握数学归纳法的证明步骤是重点，由n=k到n=k+1的转化是证明关键．