Question

12．已知棱长为l的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M分别是AB、AD、AA₁的中点，又P、Q分别在线段A₁B₁，A₁D₁上，且A₁P=A₁Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（　　）

• A． l∥面ABCD
• B． l⊥AC
• C． 面MEF与面MPQ垂直
• D． 当x变化时，l是定直线

Answer 1

分析 由已知条件推导出l∥EF，从而得到l∥面ABCD；由MN是运动的，得到面MEF与面MPQ所成二面角是不确定的，从而平面MEF与平面MPQ不垂直；EF∥BD，l∥EF，EF与AC所成的角为90°，从而l与AC垂直；M是一个确定的点，从而当x变化时，l是定直线．

解答 解：对于A，∵棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M分别是AB、AD、AA₁的中点，
又P、Q分别在线段A₁B₁、A₁D₁上，且A₁P=A₁Q=x，0＜x＜1，
∵QP∥EF，EF∥中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l∥面ABCD，故A结论正确；
对于B，∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M分别是AB、AD、AA₁的中点∴AC⊥EF，由三垂线定理可知：l⊥AC，故B结论正确．
对于C，∵MN是运动的，∴面MEF与面MPQ所成二面角是不确定的，∴平面MEF与平面MPQ不垂直，故C不正确；
对于D，∵M是AA₁的中点，是一个确定的点，∴当x变化时，l是过M与EF平行的定直线，故D正确．
故选：C．

点评 本题考查空间想象能力，直线与平面，直线与直线的位置关系，考查逻辑推理能力．属于中档题，