Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有两个顶点在直线x+2y-2=0上
（1）求椭圆C的方程；
（2）当直线l：y=x+m与椭圆C相交时，求m的取值范围；
（3）设直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若以为AB直径的圆过原点，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出直线x+2y-2=0与坐标轴的交点，可得椭圆的a，b的值，即可得出椭圆C的方程；
（2）直线y=x+m代入椭圆方程，消去y整理，根据直线l：y=x+m与椭圆C相交，可得△＞0，即可求出m的取值范围；
（3）以为AB直径的圆过原点，等价于

OA

⊥

OB

，可得

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，结合韦达定理可得结论．

解答： 解：（1）直线x+2y-2=0与坐标轴交于两点（2，0），（0，1），
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）直线y=x+m代入椭圆方程，消去y整理得：5x²+8mx+4m²-4=0，
∵直线l：y=x+m与椭圆C相交，
∴△=（8m）²-4×5×（4m²-4）＞0，
即-16m²+80＞0，解得-

5

＜m＜

5

．
（3）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由（2）得x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-4

5

，
∵以为AB直径的圆过原点，
∴

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
即2•

4m2-4

5

-

8m2

5

+m²=0，
解得m=±

2

5

10

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．