Question

1．已知α∈（0，π），若sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cos²α-sin²α=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根据sin²α+cos²α=1，将等式两边平方得2sinαcosα的值及符号，再结合由α的范围确定cosα-sinα＜0，求得（coα-sinα）²的值，再求出cosα-sinα的值，利用平方差公式得cos²α-sin²α=（cosα-sinα）（cosα+sinα），代入数据求值．

解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴（sinα+cosα）²=$\frac{1}{3}$，
解得2sinαcosα=-$\frac{2}{3}$＜0，
∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即cosα-sinα＜0，
又（cosα-sinα）²=1-2cosαsinα=$\frac{5}{3}$，
∴cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴cos²α-sin²α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=$-\frac{\sqrt{15}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了同角三角函数的关系，解题时借助于完全平方差公式的变形形式求得cosα-sinα的值，注意判断三角函数值的符号，是基础题．