Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且${a_1}=1，{S_n}={n^2}{a_n}（n∈{N_+}）$
（1）试求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；
（2）证明你的猜想，并求出a_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2，3，4计算出a₁，a₂，a₃，a₄，再计算S₁，S₂，S₃，S₄，猜想S_n；
（2）先验证n=1是否成立，再假设n=k成立，根据条件推导a_k+1，得出S_k+1，根据推导结果计算a_n．

解答 解：（1）n=1时，S₁=a₁=1，
n=2时，a₁+a₂=4a₂，∴a₂=$\frac{1}{3}$，∴S₂=$\frac{4}{3}$，
n=3时，S₂+a₃=9a₃，∴a₃=$\frac{1}{6}$，S₃=$\frac{3}{2}$，
n=4时，S₃+a₄=16a₄，∴a₄=$\frac{1}{10}$，S₄=$\frac{8}{5}$，
猜想：S_n=$\frac{2n}{n+1}$．
（2）证明：①当n=1时，显然猜想成立，
②假设n=k时，猜想成立，即S_k=$\frac{2k}{k+1}$，
则S_k+1=S_k+a_k+1=（k+1）²a_k+1，
∴a_k+1=$\frac{{S}_{k}}{{k}^{2}+2k}$=$\frac{2k}{（k+1）（{k}^{2}+2k）}$=$\frac{2}{（k+1）（k+2）}$，
∴S_k+1=（k+1）²a_k+1=$\frac{2（k+1）}{k+2}$．
∴当n=k+1时，猜想成立．
∴S_n=$\frac{2n}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了数列的递推公式，数学归纳法证明，属于中档题．