Question

3．设函数f（x）=e^ax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜$\frac{1}{e}$，e是自然对数的底数
（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；
（Ⅱ）若-e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值点的个数；
（Ⅱ）根据函数的单调性，令x₂∈（-$\frac{1}{a}$，+∞），故f（x₂）=（1-ax₂lnx₂）${e}^{{ax}_{2}}$，令h（x）=1-axlnx，x∈（-$\frac{1}{a}$，+∞），根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=ae^ax+$\frac{λ}{x}$=$\frac{a{xe}^{ax}+λ}{x}$，（x＞0），
令g（x）=axe^ax+λ，其中a＜0，x＞0，
求导得：g′（x）=ae^ax（1+ax），
令g′（x）=0，解得：x=-$\frac{1}{a}$，
x∈（0，-$\frac{1}{a}$）时，g′（x）＜0，g（x）递减，
x∈（-$\frac{1}{a}$，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
x=-$\frac{1}{a}$时，g（x）取得极小值，也是最小值g（-$\frac{1}{a}$）=λ-$\frac{1}{e}$，
∵0＜λ＜$\frac{1}{e}$，∴g（-$\frac{1}{a}$）=λ-$\frac{1}{e}$＜0，又g（0）=λ＞0，
∴g（-$\frac{1}{a}$）g（0）＜0，
∴函数f（x）有两个极值点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
不妨令x₂∈（-$\frac{1}{a}$，+∞），
故ax₂${e}^{{ax}_{2}}$+λ=0，
故f（x₂）=（1-ax₂lnx₂）${e}^{{ax}_{2}}$，
令h（x）=1-axlnx，x∈（-$\frac{1}{a}$，+∞），
h′（x）=-a（lnx+1）＞-a（ln$\frac{1}{e}$+1）=0，
∴f（x₂）＞0，∵f（0）→负数，
∴函数f（x）有唯一零点．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道综合题．