Question

12．夏威夷木瓜是木瓜类的名优品种，肉红微味甜深受市民喜爱．某果农选取一片山地种植夏威夷木瓜，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图．已知样本中产量在区间（45，50]上的果树株数是产量在区间（50，60]上的果树株数的$\frac{4}{3}$倍．
（1）求a，b的值；
（2）若从产量在区间（50，60]上的果树随机抽取2株果树，求它们的产量分别落在（50，55]和（55，60]两个不同区间的概率的概率．

Answer 1

分析 （1）样本中产量在区间（45，50]上的果树有a×5×20=100a株，样本中产量在区间（50，60]上的果树有：b+0.02）×5×20=100（b+0.02株，由此能求出a，b．
（2）产量在区间（50，55]的有4株棵树，产量在（55，60]的有2株果树，从中任取2株，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}=15$，它们的产量分别落在（50，55]和（55，60]两个不同区间包含的基本事件个数m=${C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}$=8，由此能求出它们的产量分别落在（50，55]和（55，60]两个不同区间的概率．

解答 解：（1）样本中产量在区间（45，50]上的果树有a×5×20=100a（株），
样本中产量在区间（50，60]上的果树有：（b+0.02）×5×20=100（b+0.02）（株），
依题意，有100a=$\frac{4}{3}$×100（b+0.02），即a=$\frac{4}{3}$（b+0.02），①
根据频率分布直方图知（0.02+b+0.06+a）×5=1，②
由①②，得：a=0.08，b=0.04．
（2）由（1）知产量在区间（50，55]的有4株棵树，产量在（55，60]的有2株果树，
从中任取2株，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}=15$，
它们的产量分别落在（50，55]和（55，60]两个不同区间包含的基本事件个数m=${C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}$=8，
∴它们的产量分别落在（50，55]和（55，60]两个不同区间的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{8}{15}$．

点评 本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．