Question

14．对于定义在D上的函数f（x），点A（m，n）是f（x）图象的一个对称中心的充要条件是：对任意x∈D都有f（x）+f（2m-x）=2n，现给出下列三个函数：
（1）f（x）=x³+2x²+3x+4
（2）$f（x）=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+…+\frac{1}{x+2015}$
（3）$h（x）={log_2}\frac{x}{4-x}$
这三个函数中，图象存在对称中心的有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 根据点A（m，n）是f（x）图象的一个对称中心的充要条件，逐一分析给定三个函数的对称性，可得答案．

解答 解：当m=-$\frac{2}{3}$，n=$\frac{70}{27}$时，函数f（x）=x³+2x²+3x+4满足：
f（x）+f（2m-x）=f（x）+f（$-\frac{4}{3}$-x）=x³+2x²+3x+4+（$-\frac{4}{3}$-x）³+2（$-\frac{4}{3}$-x）²+3（$-\frac{4}{3}$-x）+4=$\frac{140}{27}$=2n，
故f（x）=x³+2x²+3x+4的图象存在对称中心（-$\frac{2}{3}$，$\frac{70}{27}$）；
当$f（x）=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+…+\frac{1}{x+2015}$时，
f（x）+f（-2016-x）=$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+…+\frac{1}{x+2015}$-（$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+…+\frac{1}{x+2015}$）=0，
故$f（x）=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+…+\frac{1}{x+2015}$的图象存在对称中心（-1003，0），
当$h（x）={log_2}\frac{x}{4-x}$时，
f（x）+f（4-x）=$lo{g}_{2}\frac{x}{4-x}$+$lo{g}_{2}\frac{4-x}{4-（4-x）}$=$lo{g}_{2}\frac{x}{4-x}$+$lo{g}_{2}\frac{4-x}{x}$=0，
故$h（x）={log_2}\frac{x}{4-x}$的图象存在对称中心（2，0），
故选：D

点评 本题考查的知识点是函数的对称性，正确理解新定义点A（m，n）是f（x）图象的一个对称中心的充要条件，是解答的关键．