Question

7．在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，沿BD将四边形折起成直二面角A-BD-C，且2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=4，则三棱锥A-BCD的外接球的半径为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由已知中$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，由平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A-BCD的外接球的直径为AC，进而根据2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=4，求出三棱锥A-BCD的外接球的半径．

解答 解：平行四边形ABCD中，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
∴AB⊥BD，
沿BD折成直二面角A-BD-C，
∵平面ABD⊥平面BDC
三棱锥A-BCD的外接球的直径为AC，
∴AC²=AB²+BD²+CD²=2AB²+BD²=4
∴外接球的半径为1，
故选：A．

点评 本题将平行四边折叠，求折成三棱锥的外接球表面积，着重考查了面面垂直的性质、球表面积公式和球内接多面体的性质等知识，属于中档题．