Question

18．设△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=$\sqrt{3}$，sinB+sinC=6$\sqrt{2}$sinBsinC，则△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得sinB=$\frac{b}{2}$，sinC=$\frac{c}{2}$，化简已知等式可得b+c=3$\sqrt{2}$bc，两边平方可得：b²+c²+2bc=18b²c²，又由余弦定理可得3=b²+c²-bc，从而联立即可解得bc的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵A=60°，a=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，可得：sinB=$\frac{b}{2}$，sinC=$\frac{c}{2}$，
∵sinB+sinC=6$\sqrt{2}$sinBsinC，可得：$\frac{b}{2}$+$\frac{c}{2}$=6$\sqrt{2}$×$\frac{b}{2}$×$\frac{c}{2}$，化简可得：b+c=3$\sqrt{2}$bc，
∴两边平方可得：b²+c²+2bc=18b²c²，①
又∵由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：3=b²+c²-bc，②
∴联立①②可得：6b²c²-bc-1=0，解得：bc=$\frac{1}{2}$，或-$\frac{1}{3}$（舍去），
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．