Question

16．已知双曲线C：mx²+ny²=1（m＜0，n＞0）的一条渐近线与圆x²+y²-6x-2y+9=0相切，则C的离心率等于（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{25}{16}$
• D． $\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 求出圆的标准方程，利用双曲线的渐近线和圆相切的等价条件建立方程得到a，b的关系即可得到结论．

解答 解：圆x²+y²-6x-2y+9=0的标准方程为（x-3）²+（y-1）²=1，
则圆心为M（3，1），半径R=1，
由mx²+ny²=0得$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}$-$\frac{{x}^{2}}{-\frac{1}{m}}$=1，
则双曲线的焦点在y轴，则对应的渐近线为y=±$\frac{a}{b}$x，
设双曲线的一条渐近线为y=$\frac{a}{b}$x，即ax-by=0，
∵一条渐近线与圆x²+y²-6x-2y+9=0相切，
∴即圆心到直线的距离d=$\frac{|3a-b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，
即|3a-b|=c，
平方得9a²-6ab+b²=c²=a²+b²，
即8a²-6ab=0，
则4a-3b=0，
则b=$\frac{4}{3}$a，平方得b²=$\frac{16}{9}$a²=c²-a²，
即c²=$\frac{25}{9}$a²，
则c=$\frac{5}{3}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相切的等价条件建立方程是解决本题的关键．考查学生的计算能力．