Question

2．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤6}\\{2x+y≤6}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，则Z=max{2x+3y-1，x+2y+2}的取值范围是[2，9]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用作差法求出z的表达式，然后根据平移，根据数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤6}\\{2x+y≤6}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，对应的平面区域如图：
2x+3y-1-（x+2y+2）=x+y-3，
即z=max{2x+3y-1，x+2y+2}=$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y-1，x+y-3≥0}\\{x+2y+2，x+3-3＜0}\end{array}\right.$，
其中直线x+y-3=0过A，C点．
在直线x+y-3=0的上方，平移直线z=2x+3y-1（红线），当直线z=2x+3y-1经过点B（2，2）时，
直线z=2x+3y-1的截距最大，
此时z取得最大值为z=2×2+3×2-1=9．
在直线x+y-3=0的下方，平移直线z=x+2y+2（蓝线），当直线z=x+2y+2经过点O（0，0）时，
直线z=x+2y+2的截距最小，
此时z取得最小值为z=0+2=2．
即2≤z≤9，
故答案为：[2，9]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义确定对应的直线方程是截距本题的关键．难度较大．