题目内容

13．如图，在矩形ABCD中，F是边CD的中点，M是AF与BD交点，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{AF}$
（2）证明：M是对角线BD的三等分点．

分析 （1）$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$；
（2）由△DMF∽△BMA，
可得M是对角线BD的三等分点．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$；
证明：（2）∵DF∥AB，∴△DMF∽△BMA，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{DM}{MB}=\frac{1}{2}$，
∴M是对角线BD的三等分点．

点评 本题考查了平面向量的线性运算、三角形相似，属于中档题．

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