已知f(n)是平面区域In:$\left\{\begin{array}{l}{y≤-nx+3n}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$(x.y∈R.n∈N*)内的整点的个数.记an=2nf(n).数列{an}的前n项和为Sn(1)求数列{an}的前n项和为Sn(2)若对于任意n∈N*.$\frac{}{{4}^{n+1}}$≤c恒成立.求实数c的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．已知f（n）是平面区域I_n：$\left\{\begin{array}{l}{y≤-nx+3n}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$（x，y∈R，n∈N^*）内的整点（横纵坐标都是整数的点）的个数，记a_n=2ⁿf（n），数列{a_n}的前n项和为S_n
（1）求数列{a_n}的前n项和为S_n
（2）若对于任意n∈N^*，$\frac{（{S}_{n+1}-6）f（n+1）}{{4}^{n+1}}$≤c恒成立，求实数c的取值范围．

分析（1）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0知0＜x＜3，易知x=1，或x=2，即可求出f（1）=3，f（2）=6，f（3）=9．由x＞0，y＞0，3n-nx＞0知0＜x＜3，易知x=1，或x=2，D_n内的整点在直线x=1和x=2上，从而可证数列{a_n}的通项公式是a_n=3n（n∈N^*）．运用数列的求和方法：错位相减法，可得前n项和为S_n；
（2）若对于任意n∈N^*，$\frac{（{S}_{n+1}-6）f（n+1）}{{4}^{n+1}}$≤c恒成立，即为$\frac{9n（n+1）}{{2}^{n}}$≤c恒成立，可令b_n=$\frac{9n（n+1）}{{2}^{n}}$，求出单调性，可得最大值，即可得到c的范围．

解答解：（1）f（1）=3，f（2）=6，f（3）=9．
由x＞0，-nx+3n≥y＞0，得0＜x＜3，
∴x=1或x=2．
∴I_n内的整点在直线x=1和x=2上．
记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1，x=2的交点的纵坐标分别为y₁，y₂，
则y₁=-n+3n=2n，y₂=-2n+3n=n，
∴f（n）=3n；
a_n=2ⁿf（n）=3n•2ⁿ，
前n项和为S_n=3•2+6•2²+9•2³+…+3n•2ⁿ，
2S_n=3•2²+6•2³+9•2⁴+…+3n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-S_n=6+3（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹，
=6+3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-3n•2ⁿ⁺¹，
化简可得，S_n=6+3（n-1）•2ⁿ⁺¹；
（2）若对于任意n∈N^*，$\frac{（{S}_{n+1}-6）f（n+1）}{{4}^{n+1}}$≤c恒成立，
即为$\frac{9n（n+1）}{{2}^{n}}$≤c恒成立，
可令b_n=$\frac{9n（n+1）}{{2}^{n}}$，
由$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{n+2}{2n}$，
当n=1，2时，b₁＜b₂=b₃，
当n≥3时，b₃＞b₄＞b₅＞…，
则b₂=b₃为最大值$\frac{27}{2}$．
则c≥$\frac{27}{2}$．