Question

已知函数f（x）=

2x-1，x≥0 ax2+bx，x＜0

，且f（-1）=f（1）、f（-2）=f（0），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，

f(-1)=a-b=f(1)=1 f(-2)=4a-2b=f(0)=0

，从而解出a，b；
（2）函数g（x）=f（x）-m有3个零点可化为y=f（x）与y=m有3个不同的交点，作出f（x）的图象，从而由图象可得．

解答： 解：（1）由题意，

f(-1)=a-b=f(1)=1 f(-2)=4a-2b=f(0)=0

，
解得，a=-1，b=-2；
故f（x）=

2x-1，x≥0 -x2-2x，x＜0

；
（2）函数g（x）=f（x）-m有3个零点可化为y=f（x）与y=m有3个不同的交点，
作f（x）的图象如下，

则由图象可知，
0＜m＜1．

点评：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．