Question

20．设关于x的函数f（x）=-sin²x-2acosx-2a的最小值为g（a）．
（I）求g（a）的解析式：
（Ⅱ）确定能使用g（a）=-$\frac{1}{2}$的a的值，并对此时的a求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （I）令cosx=t，则，f（x）=h（t）=t²-2at-2a-1，则t∈[-1，1]．根据对称轴与区间的关系判断h（t）的单调性求出最小值；
（II）令g（a）=-$\frac{1}{2}$，求出符合条件的a，根据（I）中的单调性结论求出h（t）的最大值即f（x）的最大值．

解答 解：（I）f（x）=cos²x-2acosx-2a-1，令cosx=t，f（x）=h（t）=t²-2at-2a-1，则t∈[-1，1]．
①若a≤-1，则h（t）在[-1，1]上是增函数，∴g（a）=h（-1）=0，
②若a≥1，则h（t）在[-1，1]上是减函数，∴g（a）=h（1）=-4a，
③若-1＜a＜1，则h（t）在[-1，a]上是减函数，在（a，1]上是增函数，∴g（a）=h（a）=-a²-2a-1．
综上，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{0，a≤-1}\\{-{a}^{2}-2a-1，-1＜a＜1}\\{-4a，a≥1}\end{array}\right.$．
（II）令g（a）=-$\frac{1}{2}$，
当-1＜a＜1时．-a²-2a-1=-$\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$．
此时h（t）在[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$]上是减函数，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，1]上是增函数，
∴f_max（x）=h_max（t）=h（1）=4-2$\sqrt{2}$．
当a≥1时，-4a=-$\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{1}{8}$（舍去）．
综上，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，此时f（x）的最大值为4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，二次函数的单调性与最值，属于中档题．