Question

15．已知A（a，0），B（0，b），C（cosα，sinα）三点共线，其中a＞0，b＞0，α∈（0，$\frac{π}{2}$），则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$的最小值$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$．

Answer 1

分析 先求出ab=asinα+bcosα，利用基本不等式的性质判断即可．

解答 解：∵A（a，0），B（0，b），C（cosα，sinα）三点共线，
∴-$\frac{b}{a}$=$\frac{sinα-b}{cosα}$，即ab=asinα+bcosα，
又a＞0，b＞0，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}•\frac{1}{{b}^{2}}}$=$\frac{2}{ab}$=$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}sin（α+θ）}$≥$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$，
（θ=arccos$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$），当且仅当a=b时“=”成立，
故答案为：$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$．

点评 本题考察了斜率问题，考察基本不等式的性质，是一道基础题．