Question

5．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=9$\sqrt{2}$，AB=8，AC=6．顶点P在平面ABC内的射影为H，若$\overrightarrow{AH}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$且μ+2λ=1，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为$\frac{243}{2}$π．

Answer 1

分析 确定球心在PH上，由$\overrightarrow{AH}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$且μ+2λ=1，运用向量的数量积的性质，计算即可得到半径R，再由球的体积公式计算即可得到．

解答 解：由于三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H，
O为球心，OA=OB=OC=OP=R，
∵$\overrightarrow{AH}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$
∴$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{AB}$²+$μ\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$
∴$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=$λ\overrightarrow{AB}$²+$μ\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$
即32=64λ+$μ\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，①
同理对①两边取点乘$\overrightarrow{AC}$，可得
18=36μ+λ$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，②
又μ+2λ=1③
由①②③解得，λ=$\frac{9}{20}$（$\frac{1}{2}$舍去），μ=$\frac{1}{10}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=32，
∴AH²=$\frac{9}{20}$×32+$\frac{1}{10}$×18=$\frac{81}{5}$，
∵PA=PB=PC=9$\sqrt{2}$
∴HP²=81×2-$\frac{81}{5}$=$\frac{81×9}{5}$
又在直角三角形AOH中，
R²=（HP-R）²+AH²，解得R=$\frac{9}{2}$，
则有球O的体积V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$π•$\frac{729}{8}$=$\frac{243}{2}$π．
故答案为：$\frac{243}{2}$π．

点评 本题考查球的体积的求法，关键是求得球的半径，同时考查向量的数量积的定义和性质，通过两边取点乘和两边平方法，是解题的重点，具有一定的运算量，属于难题．