Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
（1）求f[f（0）+4]的值；
（2）求证：f（x）在R上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由函数的解析式可得f（0）的值，即可得f（0）+4的值，进而代入函数解析式计算可得f[f（0）+4]的值；
（2）由作差法证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，化简并分析f（x₁）-f（x₂）的符号，即可得证明．

解答 解：（1）根据题意，函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
则f（0）=$\frac{{2}^{0}-1}{{2}^{0}+1}$=0，∴f[f（0）+4]=f（4）=$\frac{{2}^{4}-1}{{2}^{4}+1}$=$\frac{15}{17}$．
（2）证明　设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则${2^{x_2}}$＞${2^{x_1}}$＞0，${2^{x_2}}$-${2^{x_1}}$＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=-$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上是增函数．

点评 本题考查函数单调性的判定、证明，关键是掌握定义法证明函数单调性的方法．