Question

19．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，A-C=$\frac{π}{3}$，则sinB的值为$\frac{\sqrt{39}}{8}$．

Answer 1

分析 根据三角形内角和定理求出A、C的表达式，利用正弦定理化简a+c=2b，再由两角和与差、二倍角的正弦公式化简，即可求出sinB的值．

解答 解：△ABC中，A+B+C=π，
∴A+C=π-B，
又A-C=$\frac{π}{3}$，
∴A=$\frac{2π}{3}$-$\frac{B}{2}$，C=$\frac{π}{3}$-$\frac{B}{2}$；
又a+c=2b，
由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，
则sin（$\frac{2π}{3}$-$\frac{B}{2}$）+sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{B}{2}$）=2sinB，
∴sin$\frac{2π}{3}$cos$\frac{B}{2}$-cos$\frac{2π}{3}$sin$\frac{B}{2}$+sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{B}{2}$-cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{B}{2}$=4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$
∴$\sqrt{3}$cos$\frac{B}{2}$=4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$，
由0＜B＜π得，0＜$\frac{B}{2}$＜$\frac{π}{2}$，∴cos$\frac{B}{2}$＞0，
∴sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，cos$\frac{B}{2}$═$\sqrt{1{-（\frac{\sqrt{3}}{4}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴sinB=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{\sqrt{39}}{8}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{39}}{8}$．

点评 本题考查了正弦定理与三角形内角和定理，两角和与差、二倍角的正弦公式应用问题，是综合题．