Question

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别为PA，PC的中点．
（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断l与平面PAC的位置关系，并加以说明；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足

DQ

=

1

2

CP

，记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的锐角为α，二面角E-l-C的大小为β，
①求证：sinθ=sinα•sinβ．
②当点C为弧AB的中点时，PC=AB，求直线DQ与平面BEF所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面所成的角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）由已知条件推导出EF∥AC，从而得到EF∥平面ABC，由此能证明l∥平面PAC．
（II）①过B作AC的平行线BD，交线l即为直线BD，且l∥AC，由已知条件推导出∠CBF=β，∠CDF=θ，∠BDF=α，由此能证明sinθ=sinαsinβ；
②因为DQ∥CP，所以直线DQ与平面BEF所成的角就为CF与平面BEF所成的角，过点C作CG⊥BF，垂足为G，证明∠CFB就是直线CF与平面BEF所成的角，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）直线l∥平面PAC，
证明如下：连接EF，
因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC．
又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC．
而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．
因为l?平面PAC，EF?平面PAC，所以直线l∥平面PAC..4分
（Ⅱ）①证明：如图，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．
因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．
已知PC⊥平面ABC，而l?平面ABC，所以PC⊥l．
而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．
连接BE，BF，
因为BF?平面PBC，所以l⊥BF．
故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β．
由

DQ

=

1

2

CP

，作DQ∥CP，且DQ=

1

2

CP．
连接PQ，DF，
因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，
从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．
连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．
又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF为锐角，
故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即∠BDF=α，8 分
于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得sinθ=

CF

DF

，sinα=

BF

DF

，sinβ=

CF

BF

，
从而sinαsinβ=

CF

BF

•

BF

DF

=

CF

DF

=sinθ，即sinθ=sinαsinβ.9分
②解：因为DQ∥CP，所以直线DQ与平面BEF所成的角就为CF与平面BEF所成的角
过点C作CG⊥BF，垂足为G，
因为BD⊥平面PBC，所以BD⊥CG，
又BD∩BF=B，所以CG⊥平面BEF
故∠CFB就是直线CF与平面BEF所成的角，sin∠CFB=

6

3

，
故直线DQ与平面BEF所成的角的正弦值为

6

3

13分

点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断与证明，考查三角函数正弦值相等的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．