Question

定义在R上的函数f（x）是增函数，且对任意的x恒有f（x）=-f（2-x），若实数a，b满足不等式组

f(a2-6a+23)+f(b2-8b)≤0 a≥3

，则a²+b²的范围为（　　）

• A、[13，27]
• B、[25，45]
• C、[13，45]
• D、[13，49]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由函数的性质可化原不等式组为

(a-3)2+(b-4)2≤4 a≥3

，a²+b²表示点（a，b）到点（0，0）的距离的平方，数相结合可得答案．

解答： 解：∵f（x）=-f（2-x），∴-f（x）=f（2-x），
∴f（a²-6a+23）+f（b²-8b）≤0可化为f（a²-6a+23）≤-f（b²-8b）=f（2-b²+8b），
又∵f（x）在R上单调递增，∴a²-6a+23≤2-b²+8b，
即a²-6a+23+b²-8b-2≤0，配方可得（a-3）²+（b-4）²≤4，
∴原不等式组可化为

(a-3)2+(b-4)2≤4 a≥3

，
如图，点（a，b）所对应的区域为以（3，4）为圆心，2为半径的右半圆（含边界），
易知a²+b²表示点（a，b）到点（0，0）的距离的平方，
由图易知：|OA|²≤a²+b²≤|OB|²，可得点A（3，2），B（3，6）
∴|OA|²=3²+2²=13，|OB|²=3²+6²=45，
∴13≤m²+n²≤45，即m²+n²的取值范围为[13，45]．
故选：C

点评：本题考查函数恒成立问题，考查数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属中档题．