Question

如图，过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的动点M引圆O：x²+y²=b²的两条切线MA与MB，其中A，B分别为切点，若椭圆上存在点M，使四边形OAMB为正方形，则该椭 圆离心率的范围为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，由∠AMB=90°及圆的性质，可得|OM|=

2

b，然后，得到|OM|²=2b²≤a²，从而得到离心率的取值范围．

解答： 解：∵∠AMB=90°，
∴|OM|=

2

b，即|OM|²=2b²≤a²，
∴a²≤2c²，
∴e²≥

1

2

，
∴e≥

2

2

，
∵e＜1，
∴e∈[

2

2

，1）．
故答案为：[

2

2

，1)．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围．在处理直线与圆锥曲线的关系类问题时，一般方法及思路一般有：①联立方程；②设而不求；③韦达定理；④弦长公式等．