Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=0，a_n+1-S_n=n．
（Ⅰ） 求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 设数列{b_n}的前n项和为T_n，b₁=1，点（T_n+1，T_n）在直线

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上，在（Ⅰ）的条件下，若不等式

b1

a1+1

+

b2

a2+1

+…+

bn

an+1

≤t2-3t对于n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）条件a_n+1-S_n=n中令n=n-1得 a_n-S_n-1=n-1，两式相减得递推关系式a_n+1=2a_n+1，结合a₁=0可证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式，（Ⅱ）点（T_n+1，T_n）在直线

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上得数列{

Tn

n

}是等差数列并求出通项公式，将a_n，b_n代入不等式可见不等式左边为等比数列前n项和，利用错位相减求出化简不等式转化为恒成立问题求解．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+1-S_n=n，得a_n-S_n-1=n-1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n-（S_n-S_n-1）=1，即a_n+1=2a_n+1，
所以a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
又a₁=0，a₂=1，则a₂+1=2（a₁+1），所以a_n+1+1=2（a_n+1）对任意n∈N^*成立，
所以数列{a_n+1}是以a₁+1=1为首项，2为公比的等比数列．
所以，数列{a_n}的通项公式an=2n-1-1．
（Ⅱ）因为点（T_n+1，T_n）在直线

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上，所以

Tn+1

n+1

-

Tn

n

=

1

2

，故{

Tn

n

}是以

T1

1

=1为首项，

1

2

为公差的等差数列，则

Tn

n

=1+

1

2

(n-1)，所以Tn=

n(n+1)

2

，
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，b₁=1满足该式，所以b_n=n．
不等式

b1

a1+1

+

b2

a2+1

+…+

bn

an+1

≤t2-3t，即为1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

≤t2-3t，
令Rn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，则

1

2

Rn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，两式相减得(1-

1

2

)Rn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，所以Rn=4-

n+2

2n-1

．
所以Rn=4-

n+2

2n-1

＜4．
由Rn≤t2-3t恒成立，即t²-3t≥4，解得t≤-1或t≥4．

点评：解题关键是将数列{a_n}，{b_n}通项公式求出代入不等式化简，转化为恒成立问题解决．