题目内容
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a+c）•
•
+c•
•
=0
（1）求角B的大小；
（2）若b=2
，求a2+c2的取值范围．
| BC |
| BA |
| CA |
| CB |
（1）求角B的大小；
（2）若b=2
| 3 |
考点：余弦定理,平面向量数量积的运算
专题：解三角形
分析：（1）根据向量的数量积运算，以及正弦定理即求角B的大小；
（2）根据正弦定理分别求出a，b的值，利用三角函数的性质即可得到结论．
（2）根据正弦定理分别求出a，b的值，利用三角函数的性质即可得到结论．
解答：
解：（1）∵（2a+c）•
•
+c•
•
=0
∴（2a+c）•a•ccosB+c•a•bcosC=0
即（2a+c）cosB+bcosC=0
根据正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∴2sinAcosB+sinA=0，
即cosB=-
，∴B=120°=
．
（2）∵b2=a2+c2+2accos120°，
∴12=a2+c2-ac
（2）由正弦定理得：
=
=
=
=4，
∴a=4sinA，c=4sinC，
∴a2+c2=16（sin2A+sin2C）=8（2sin2A+2sin2C）=8（1-cos2A+1-cos2C）
=16-8cos2A-8cos2（
-A）
=16-8cos2A-8（-
cos2A+
sin2A）
=16-4cos2A-4
sin2A
=16-8cos（2A-
），
∵B=
，
∴0＜A＜
，
即0＜2A＜
，
∴-
＜2A-
＜
，
∴-
＜cos（2A-
）≤1，
∴-4＜8cos（2A-
）≤8，
即-8≤-8cos（2A-
）＜4，
∴8≤16-8cos（2A-
）＜20，
8≤a2+c2＜20．
| BC |
| BA |
| CA |
| CB |
∴（2a+c）•a•ccosB+c•a•bcosC=0
即（2a+c）cosB+bcosC=0
根据正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∴2sinAcosB+sinA=0，
即cosB=-
| 1 |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
（2）∵b2=a2+c2+2accos120°，
∴12=a2+c2-ac
（2）由正弦定理得：
| a |
| sin?A |
| c |
| sin?C |
| b |
| sin?B |
2
| ||||
|
∴a=4sinA，c=4sinC，
∴a2+c2=16（sin2A+sin2C）=8（2sin2A+2sin2C）=8（1-cos2A+1-cos2C）
=16-8cos2A-8cos2（
| π |
| 3 |
=16-8cos2A-8（-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=16-4cos2A-4
| 3 |
=16-8cos（2A-
| π |
| 3 |
∵B=
| 2π |
| 3 |
∴0＜A＜
| π |
| 3 |
即0＜2A＜
| 2π |
| 3 |
∴-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴-4＜8cos（2A-
| π |
| 3 |
即-8≤-8cos（2A-
| π |
| 3 |
∴8≤16-8cos（2A-
| π |
| 3 |
8≤a2+c2＜20．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（ ）
| A、{0，1} |
| B、{1，2} |
| C、{1，2，3} |
| D、{0，1，2，3} |