Question

如图，长方体AC₁中，AB=2，BC=AA₁=1．E、F、G分别为棱DD₁、D₁C₁、BC的中点．
（1）求证：平面A₁EF⊥平面BB₁F；
（2）试在底面A₁B₁C₁D₁上找一点H，使EH∥平面FGB₁；
（3）求四面体EFGB₁的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得A₁F⊥BB₁，A₁F⊥B₁F，由此能证明平面A₁EF⊥平面BB₁F．
（2）取A₁D₁的中点P，D₁P的中点H，连结DP、EH，则DP∥B₁G，EH∥DP，由此能求出H在A₁D₁上，且HD₁=

1

4

A₁D₁时，EH∥平面FGB₁．
（3）由V四面体EFGB1=VE-FGB1=VH-FGB1，利用等积法能求出四面体EFGB₁的体积．

解答： （1）证明：∵长方体AC₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
A₁F?平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁F⊥BB₁，
∵长方体AC₁中，AB=2，BC=AA₁=1，
E、F、G分别为棱DD₁、D₁C₁、BC的中点，
∴A₁F⊥B₁F，
∴A₁F⊥平面BB₁F，
又∴A₁F?平面A₁EF，∴平面A₁EF⊥平面BB₁F．
（2）解：取A₁D₁的中点P，D₁P的中点H，
连结DP、EH，则DP∥B₁G，EH∥DP，
∴EH∥B₁G，又B₁G?平面FGB₁，∴EH∥平面FGB₁．
即H在A₁D₁上，且HD₁=

1

4

A₁D₁时，EH∥平面FGB₁．
（3）解：∵EH∥平面FGB₁，∴VE-FGB1=VH-FGB1，
而VH-FGB1=VG-HFB1=

1

3

×1×S△D1HF，
S△HFB1=S梯形B1C1D1H-S△B1C1F-S△D1HF=

5

8

，
∴V四面体EFGB1=VE-FGB1=VH-FGB1=

1

3

×1×

5

8

=

5

24

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足直线与平面平行的点的确定，考查四面体体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．