Question

已知向量

a

=（1，cos

x

2

）与

b

=（

3

sin

x

2

+cos

x

2

，y）共线，且有函数y=f（x）．
（Ⅰ）若f（x-

π

6

）=1，x∈（0，2π），求x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求函数f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）通过向量共线，以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用f（x-

π

6

）=1，x∈（0，2π），即可求x的值；
（Ⅱ）利用正弦定理化简2acosC+c=2b，求出A的大小，结合B的范围，即可求函数f（B）的取值范围．

解答： 解（Ⅰ）∵向量

a

=（1，cos

x

2

）与

b

=（

3

sin

x

2

+cos

x

2

，y）共线，
∴y=cos

x

2

(

3

sin

x

2

+cos

x

2

)
=

3

2

sinx+

1

2

(1+cosx)=sin(x+

π

6

)+

1

2

，
∵f(x-

π

6

)=1，
∴f(x)=sinx+

1

2

=1，
即sinx=

1

2

，x=

π

6

，

5π

6

（Ⅱ）已知2acosC+c=2b，由正弦定理得：

2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C) 2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC

∴cosA=

1

2

，
∴在△ABC中∠A=

π

3

.f(B)=sin(B+

π

6

)+

1

2

∵∠A=

π

3

∴0＜B＜

2π

3

，

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(B+

π

6

)≤1，1＜f(B)≤

3

2

∴函数f（B）的取值范围为(1， 

3

2

]．

点评：本题考查正弦定理的应用，三角函数的图象与性质的应用，考查计算能力．