Question

设函数f（x）定义在（0，+∞）上，其图象经过点M（1，0），导函数f′（x）=x^-1，g（x）=f（x）+f′（x）．
（1）如果不等式m≥g（x）有解，求实数m的取值范围；
（2）如果N（t，b）是函数y=f′（x）图象上一点，证明：当0＜t＜1，g（t）＞g（b）；
（3）是否存在x₀＞1，使得lnx＜g（x₀）＜lnx+

2

x

对任意x＞0恒成立？若存在，求出x₀ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由图象经过点M（1，0），导函数f′（x）=x^-1，求出f（x），g（x）的解析式，不等式m≥g（x）有解，就是m大于等g（x）的最大值，利用g（x）的单调性求出g（x）的最大值，从而求出m的取值范围；
（2）构造函数h（t）=g（t）-g（b），利用h（t）的单调性求出h（t）的最值，从而证明不等式；
（3）利用反证法，假设结论不成立，取x1=eg(x0)时，得出矛盾，从而得证．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

1

x

，∴f（x）=lnx+c（c为常数），
又∵f（1）=0，∴ln1+c=0，即c=0，∴f（x）=lnx，g(x)=lnx+

1

x

，
∴g′(x)=

x-1

x2

，令g′（x）=0，即

x-1

x2

=0，解得x=1，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0时，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
所以x=1是函数g（x）在（0，+∞）上的唯一极小值点，从而是最小值点，…（4分）
所以g（x）的最小值是g（1）=1．“不等式m≥g（x）有解”的等价命题是“m≥[g（x）]_min”，故m≥1．
（2）证明：点N（t，b）是函数y=f′（x）图象上一点，
b=f′(t)=

1

t

，g(b)=g(

1

t

)=-lnt+t．
设h(t)=g(t)-g(b)=g(t)-g(

1

t

)=2lnt-t+

1

t

，则h′(t)=t-

(t-1)2

t2

，
当t∈（0，1）时，h（t）＜0，此时h（t）=2lnt-t+

1

t

是减函数，故h（t）＞h（1），
又t=1时，h（1）=0，即h（t）＞0，也就是2lnt-t+

1

t

＞0，∴g(t)＞g(

1

t

)．
故当t∈（0，1）时，g（t）＞g（b）．
（3）满足条件的x₀不存在．证明如下：
假设存在x₀＞0得对任意x＞0有lnx＜g(x0)＜lnx+

2

x

 ①，
但对上述的x₀，取x1=eg(x0)时，有lnx₁=g（x₀），这与①左边的不等式矛盾，
因此不存在x₀，使lnx＜g(x0)＜lnx+

2

x

对任意x＞0成立．

点评：本题目考查了，求解析式，等价转化，分类讨论，反证法，以及化归思想，是一道导数的综合题目，有一定的难度．