Question

在公差不为零的等差数列{a_n}中，a₂=3，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，记b_n=

1

S3n

．求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列及等比数列的定义，列出方程组求解；
（2）利用裂项相消法求数列的和．

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d，依题意得

a1+d=3 (a1+2d)2=a1(a1+6d) d≠0

，…（3分）
解得 a₁=2，d=1…（5分）
∴a_n=2+（n-1）×1即 a_n=n+1．…（6分）
（2）S3n=

3n(a1+a3n)

2

=

3n(2+3n+1)

2

=

9n(n+1)

2

．
bn=

1

S3n

=

2

9n(n+1)

=

2

9

(

1

n

-

1

n+1

)…（9分）
Tn=b1+b2+…+bn=

2

9

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2n

9(n+1)

故 T_n=

2n

9(n+1)

．…（12分）

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的性质的应用及裂项相消法求数列和的知识，考查学生的运算能力及方程思想的运用能力，属中档题．