Question

9．在直角坐标系中，定义两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
现有以下命题：
①若A，B是x轴上两点，则d（A，B）=|x₁-x₂|；
②已知点A（1，2），点B在线段x+y=1（x∈[0，1]）上，则d（A，B）为定值；
③已知点A（2，1），点B在椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上，则d（A，B）的取值范围是（1，5）；
④若|AB|表示A，B两点间的距离，那么|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$d（A，B）．
其中真命题的是①②③④（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 ①根据题意，可得y₁=y₂=0，根据定义直接判断；
②利用定义可得出d（A，B）=|1-x|+|1+x|，利用x的范围去绝对值可得结论；
③利用换元法得出则d（A，B）=3-2sin（θ+$\frac{π}{6}$），进而求出d的范围；
④根据均值定理公式ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$，结合定义和距离的内在关系得出结论．

解答 解：①若A，B是x轴上两点，
∴y₁=y₂=0，则d（A，B）=|x₁-x₂|，故正确；
②已知点A（1，2），点B在线段x+y=1（x∈[0，1]）上，则d（A，B）=|1-x|+|1+x|=2，故正确；
③已知点A（2，1），点B在椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上，
∴设x=$\sqrt{3}$sinθ，则y=cosθ，
则d（A，B）=3-2sin（θ+$\frac{π}{6}$），故d的取值范围是（1，5），故正确；
④若|AB|表示A，B两点间的距离，
设a=|x₁-x₂|，b=|y₁-y₂|，
∴ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$，d²=a²+b²+2ab，
∴d²-a²-b²=2ab≤${（\frac{d}{2}）}^{2}$，
∴|AB|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$d（A，B），故正确．
故答案为：①②③④．

点评 考查了对新定义类型题的理解和利用学过的直接解决问题的能力．