Question

20．已知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若α∈（$\frac{π}{2}$，π），f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2}{3}$cos（α+$\frac{π}{4}$）cos2α，求sinα-cosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由题意可得sinα+cosα=0 或（cosα-sinα）²=$\frac{3}{2}$，再根据α∈（$\frac{π}{2}$，π），可得α=$\frac{3π}{4}$或cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由此求得sinα-cosα的值．

解答 解：（Ⅰ）对于f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，可得f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z．
（Ⅱ）若α∈（$\frac{π}{2}$，π），f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2}{3}$cos（α+$\frac{π}{4}$）cos2α，
则sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2}{3}$cos（α+$\frac{π}{4}$）cos2α，即 $\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{2}{3}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα）•（cos²α-sin²α），
∴sinα+cosα=0 或（cosα-sinα）²=$\frac{3}{2}$．
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴α=$\frac{3π}{4}$或cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴sinα-cosα=$\sqrt{2}$ 或sinα-cosα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性，两角和差的三角公式，属于基础题．