Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-

2

，0），过F的直线交C于A，B两点，设点A关于y轴的对称点为A′，且|FA|+|FA′|=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点A在第一象限，当△AFA′面积最大时，求|AB|的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）设F′是椭圆的右焦点，由椭圆的性质及其定义可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．再利用b²=a²-c²即可得出．
（II）设A（x₁，y₁）（x₁＞0，y₁＞0），△AFA′面积S=

1

2

•2x1•y1=x₁y₁．由于1=

x 2 1

4

+

y 2 1

2

利用基本不等式的性质可得S≤

2

．当△AFA′面积取得最大时，

x 2 1

4

=

y 2 1

2

=

1

2

，解得A(

2

，1)，可得直线AB的方程为：y=

1

2 2

(x+

2

)，
设B（x₂，y₂），与椭圆的方程联立可得B，利用|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

即可得出．

解答： 解：（I）设F′是椭圆的右焦点，
由椭圆的性质和定义可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．
解得a=2，
∵左焦点为F（-

2

，0），c=

2

，
∴b²=a²-c²=2．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）设A（x₁，y₁）（x₁＞0，y₁＞0），△AFA′面积S=

1

2

•2x1•y1=x₁y₁．
∵1=

x 2 1

4

+

y 2 1

2

≥2×

x1

2

×

y1

2

=

2

2

S，
∴S≤

2

．
当△AFA′面积取得最大时，

x 2 1

4

=

y 2 1

2

=

1

2

，解得x1=

2

，y₁=1．
由F（-

2

，0），A(

2

，1)，可得直线AB的方程为：y=

1

2 2

(x+

2

)，化为x-2

2

y+

2

=0，
设B（x₂，y₂），联立

x-2 2 y+ 2 =0 x2+2y2=4

，解得

x1= 2 y1=1

，

x2=- 7 5 5 y2=- 1 5

，
可得B(-

7 5

5

，-

1

5

)．
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

18

5

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．