Question

已知函数（其中为常数）.
（I）当时，求函数的最值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性.

Answer 1

（I）当时，函数的最小值为，无最大值；（Ⅱ）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在区间上单调递减；在区间上单调递增．

试题分析：（I）由已知条件，写出当时，函数的解析式，先求函数的定义域，再求函数的导数，令和，分别求出函数的单调增区间和单调减区间，最后可求得函数的最值；（Ⅱ）先求出函数的导数：，再观察发现，当时，恒成立，在区间上单调递增．当时，由，得，解这个方程，讨论可得函数的单调性．
试题解析：（I）的定义域为，当时，， ．                           2分
由，得，由，得，在区间上单调递减，
在区间上单调递增，故当时，取最小值，
无最大值.                                          4分
（Ⅱ）．                  5分
当时，恒成立，在区间上单调递增；               6分
当时，由得，解得，．      7分
当时，，由得，
在区间上单调递减，
在区间和上单调递增                    9分
当时，，由得，在区间上单调递减；在区间上单调递增．
综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在区间上单调递减；在区间上单调递增．   13分