Question

已知函数f（x）=2lnx-ax+a（a∈R）．
（1）如果曲线y=f（x）在（1，0）处的切线恰与直线y=x平行，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x₁＜x₂时，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2（

1

x2

-1）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用曲线y=f（x）在（1，0）处的切线恰与直线y=x平行，可得2-a=1，由此能求出实数a．
（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=

2

x

-a=

2-ax

x

（x＞0），由实数a的取值范围进行分类讨论，能够求出f（x）的单调区间．
（3）先证明当且仅当a=2时，f（x）≤0恒成立，此时f（x）=2lnx-2x+2，因为0＜x₁＜x₂，所以

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2（

1

x2

-1）等价于ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1，令t=

x2

x1

（t＞1），则只需证明lnt＜t-1．

解答： （1）解：因为f（x）=2lnx-ax+a，
所以f′（x）=

2

x

-a．
因为曲线y=f（x）在（1，0）处的切线恰与直线y=x平行，
所以2-a=1，
所以a=1；
（2）解：f′（x）=

2

x

-a=

2-ax

x

（x＞0），
①当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，令f'（x）=0，可得x=

2

a

．
所以当x∈（0，

2

a

）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，

2

a

）上是增函数；
当x∈（

2

a

，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（

2

a

，+∞）上是减函数．
所以当a≤0时，f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的递减区间是（

2

a

，+∞），f（x）的递增区间是（0，

2

a

）；
（3）证明：由（2）知，当a≤0时，f（x）的递增区间是（0，+∞），且f（1）=0，
所以x＞1时，f（x）＞f（1）=0，所以f（x）≤0不恒成立；
a＞0时，f（x）的递减区间是（

2

a

，+∞），f（x）的递增区间是（

2

a

，+∞），
要使f（x）≤0恒成立，则f（

2

a

）≤0即可，
所以求满足2ln

2

a

+a-2≤0成立的a．
令g（x）=2（ln2-lnx）+x-2，则g′（x）=

x-2

x

（x＞0），
所以有g（x）在（0，2（上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以g_min（x）=g（2）=0，
所以当且仅当a=2时，f（x）≤0恒成立
此时f（x）=2lnx-2x+2．
因为0＜x₁＜x₂，
所以

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2（

1

x2

-1）等价于ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1，
令t=

x2

x1

（t＞1），则只需证明lnt＜t-1，
令h（t）=lnt-t+1，则h′（t）=

1

t

-1＜0，
所以h（t）在（1，+∞）上单调递减，所以h（t）＜h（1）=0，即lnt＜t-1．

点评：本题考查满足条件的实数的求法，考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明．解题时要认真题，仔细解答，注意函数的导数、切线方程和单调性等知识点的综合运用．