Question

对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭，如果函数f（x）=-

4x

1+|x|

在R上封闭，则b-a=

 

．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：先判断奇偶性，再判断单调性，解方程f（a）=b，f（b）=a即可

解答： 解：∵f（x）=-

4x

1+|x|

=

-4+ 4 x+1 ，x∈[0，+∞) 4+ 4 x-1 ，x∈(-∞，0)

，设0≤x_1＜x₂，
则f（x₁）-f（x_2）=

4(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0，故f（x）在[0，+∞）上是
单调递减函数，又∵f（x）=

4x

1+|x|

，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数．
所以f（x）在R上是单调递减函数，
而x∈[0，+∞）时，f（x）值域为（-4，0]，x∈（-∞.0）时，f（x）值域为（0，4）
要使得y=f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则a＜0＜b
由

f(a)=b f(b)=a

，得

4+ 4 a-1 =b -4+ 4 b+1 =a

，得

a=-3 b=3

，∴b-a=6
故答案为：6

点评：本题考查了函数单调性，奇偶性，函数值域，综合性较强