Question

已知：△AOB中，∠AOB=90°，AO=h，OB=r，如图所示，先将△AOB绕AO所在直线旋转一周得到一个圆锥，再在该圆锥内旋转一个长宽都为

2

，高DD₁=1的长方体CDEF-C₁D₁E₁F₁．若该长方体的顶点C，D，E，F都在圆锥的底面上，且顶点C₁，D₁，E₁，F₁都在圆锥的侧面上，则h+r的值至少应为

 

．

Answer 1

考点：组合几何体的面积、体积问题,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：画出经过长方体的对角线以及圆锥的轴的截面图，通过三角形相似比，利用基本不等式求出h+r的最小值．

解答： 解：如图是经过长方体的对角线以及圆锥的轴的截面图，
∵长宽都为

2

，高DD₁=1的长方体，∴CE=2，显然△PME∽△PON，
∴

PM

PO

=

ME1

ON

，即

h-1

h

=

1

r

，可得：h+r=hr≤(

h+r

2

)2，当且仅当h=r时取等号．
此时h+r≥4．
故答案为：4．

点评：本题考查空间几何体的关系，基本不等式的应用，相似三角形的应用，考查分析问题解决问题的能力．