Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）若函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，求a的值；
（2）在（1）的条件下，对任意t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在区间（t，3）总存在极值，求m的取值范围；
（3）若a=2，对于函数h（x）=（p-2）x-

p+2e

x

-3在[1，e]上至少存在一个x₀使得h（x₀）＞f（x₀）成立，求实数P的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数的几何意义，由题意即得f′（2）=-

a

2

=1，解得a=-2．
（2）根据函数极值的定义结合二次函数图象的特点，列出不等式求解即得结论；
（3）构造函数F（x）=h（x）-f（x）=px-

p+2e

x

-2lnx，由题意得F（x）_max=F（e）=pe-

p

e

-4，只要pe-

p

e

-4＞0即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
∴f′（x）=

a

x

-a，∵函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，
∴f′（2）=-

a

2

=1，解得a=-2．
（2）由（1）知，f（x）=-2lnx+2x-3，f′（x）=2-

2

x

，
∴g（x）=x³+（2+

m

2

）x²-2x，g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵函数g（x）在区间（t，3）总存在极值，
∴

g′(2)＜0 g′(3)＞0

 解得-

37

3

＜m＜-9．
（3）由a=2得f（x）=2lnx-2x-3，令F（x）=h（x）-f（x）=px-

p+2e

x

-2lnx，则F′（x）=

px2-2x+p+2e

x2

，
①若p≤0，由于px-

p

x

≤0，-

2e

x

-2lnx＜0，故F（x）＜0，所以不存在x₀使得h（x₀）＞f（x₀）；
②若p＞0，此时F′（x）=

px2-2x+p+2e

x2

＞0，所以F（x）在[1，e]上是增函数，
∴F（x）_max=F（e）=pe-

p

e

-4，只要pe-

p

e

-4＞0即可，解得p＞

4e

e2-1

，
即p∈（

4e

e2-1

，+∞）．

点评：本题主要考查利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的极值及最值，掌握不等式成立时所取的条件，能够将其等价转化为求函数最值问题解决，逻辑能力强，属难题．