Question

已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=

[x]

x

-a（x＞0）有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，方程

[x]

x

=a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且 a≥0，[x]=1，2，3．分别求得[x]=1，2，3，4时，a的范围，从而确定满足条件的a的范围．

解答： 解：因为f（x）=

[x]

x

-a，有且仅有3个零点，
则方程

[x]

x

=a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0．
∵x＞0，∴[x]≥0； 若[x]=0，则

[x]

x

=0；
若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，
∴

[x]

[x]+1

＜

[x]

x

≤1，
∴

[x]

[x]+1

＜a≤1，
且

[x]

[x]+1

随着[x]的增大而增大．
故不同的[x]对应不同的a值，
故有[x]=1，2，3．
若[x]=1，则有

1

2

＜

[x]

x

≤1；
若[x]=2，则有

2

3

＜

[x]

x

≤1；
若[x]=3，则有

3

4

＜

[x]

x

≤1；
若[x]=4，则有

4

5

＜

[x]

x

≤1．
综上所述，

3

4

＜a≤

4

5

．
故答案为：（

3

4

，

4

5

）．

点评：本题考察了函数零点的判定定理，分类讨论思想，是一道基础题．