Question

18．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项之积为T_n，若${T_n}={2^{{n^2}+n}}$，则$\frac{{{a_n}+12}}{2^n}$的最小值为（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． $4\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用递推关系、利用导数研究函数的单调性、数列的单调性即可得出．

解答 解：∵各项均为正数的数列{a_n}的前n项之积为T_n，${T_n}={2^{{n^2}+n}}$，
∴a₁=T₁=2²=4．
n≥2时，a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{{n}^{2}+n}}{{2}^{（n-1）^{2}+（n-1）}}$=2²ⁿ=4ⁿ．
当n=1时上式也成立，
∴a_n=4ⁿ．则$\frac{{{a_n}+12}}{2^n}$=$\frac{{4}^{n}+12}{{2}^{n}}$=${2}^{n}+\frac{12}{{2}^{n}}$=g（n），
考察函数f（x）=x+$\frac{12}{x}$（x≥2）的单调性，
f′（x）=1-$\frac{12}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-12}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{12}）（x-\sqrt{12}）}{{x}^{2}}$，
当2≤x$＜\sqrt{12}$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当$\sqrt{12}$＜x，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
又g（2）=2²+$\frac{12}{{2}^{2}}$=7，g（3）=2³+$\frac{12}{{2}^{3}}$=$\frac{19}{2}$＞g（3）．
∴$\frac{{{a_n}+12}}{2^n}$的最小值为7．
故选：A．

点评 本题考查了递推关系、利用导数研究函数的单调性、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．