Question

9．P（$\sqrt{2}$，1）是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的一点，且|PF₁|-|PF₂|=2，若抛物线的顶点是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的中心，焦点是双曲线的右顶点．
（1）求双曲线的渐近线与抛物线的准线方程；
（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的定义求出a，经过的点，求出b，即可求解双曲线x²-y²=1，利用双曲线与抛物线的关系求出抛物线方程．
（2）由于以点C（2，1）为MN中点的直线l斜率必存在，设为k（k≠0），将l的方程与抛物线的方程y²=4x联立，消去x，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韦达定理求出k，得到直线l的方程．

解答 解：（1）P（$\sqrt{2}$，1）是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的一点，且|PF₁|-|PF₂|=2，可得a=1，$\frac{{（\sqrt{2}）}^{2}}{{1}^{2}}-\frac{{1}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
解得：b=1，双曲线x²-y²=1．
抛物线的顶点是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的中心，焦点是双曲线的右顶点．
可得p=2，
抛物线的标准方程为y²=4x．…（6分）
（2）使得C恰为弦MN的中点的直线存在．理由如下：
由于以点C（2，1）为MN中点的直线l斜率必存在，设为k（k≠0），则l的方程为：y-1=k（x-2），即y=kx+1-2k．将l的方程与抛物线的方程y²=4x联立，消去x得：ky²-4y+4-8k=0①设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁，y₂是方程①的解．
且y₁+y₂=2，又由韦达定理得${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$，∴$\frac{4}{k}=2$，∴k=2．
经验证k=2时，方程①的△＞0成立，∴直线l的方程为2x-y-3=0．

点评 本题考查双曲线方程与抛物线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，考查转化思想以及计算能力．