Question

7．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
（1）哪些棱所在直线与直线BA₁是异面直线？
（2）哪些棱所在的直线与AA₁垂直？
（3）求A₁B与B₁D₁所成角；
（4）求AC与BD₁所成角．

Answer 1

分析 （1）根据异面直线的定义，不同在任一平面内的两直线互为异面直线，进行寻找异面直线即可；
（2）根据线面垂直的性质定理即可解题；
（3）先把异面直线转化为共面直线再做求角；
（4）连接BD交AC与点O，根据线面垂直的判定定理可知AC⊥面D₁DB，而D₁B?面D₁DB，则AC⊥D₁B，从而可求出异面直线BD₁与AC所成角的余弦值．

解答 解：（1）根据异面直线的定义进行判定可知
与直线BA₁成异面直线有D₁C₁、D₁D、C₁C、C₁B₁、DC、AD．
（2）由题意知AA₁⊥面ABCD、AA₁⊥面A₁B₁C₁D₁，
∴由线面垂直点的性质定理知与AA₁垂直的直线有：AB，BC，CD，DA，A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁，D₁A₁，
（3）∵此几何体为正方体，
∴BD∥B₁D₁，
∴AB₁与BD所成的角等于AB₁与B₁D₁所成的角，
又∵A₁D=BD，
∴AB₁与BD所成的角为∠A₁BD=45°
∴A₁B与B₁D₁所成角等于45°．
（4）连接BD交AC与点O，
∵D₁D⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴D₁D⊥AC，而AC⊥BD，D₁D∩BD=D，
∴AC⊥面D₁DB，
又∵D₁B?面D₁DB，
∴AC⊥D₁B，
即直线BD₁与AC所成角为90°．

点评 本题主要考查了异面直线的判定，以及异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．